Ano que vem temos eleições para prefeitos e vereadores em todos os municípios brasileiros. Imagine que em uma dessas cidades há dois candidatos principais: a Maçã e a Laranja. As pesquisas de opinião preveem que a Laranja será eleita:

Candidato Votos
Laranja 🍊 60%
Maçã 🍎 40%

Essa pesquisa mostra que a maioria das pessoas prefere uma fruta cítrica. É possível que os eleitores da Laranja gostem ainda mais de alguma outra fruta cítrica, mas votaram na Laranja por ser a candidata mas próxima da sua favorita. Animado com essa possibilidade, o Abacaxi resolve entrar na disputa.

Agora que os eleitores tem ainda mais opções para escolher o resultado da eleição vai refletir ainda melhor o que as pessoas de fato querem? Infelizmente, não. Os eleitores vão às urnas e o resultado é o seguinte:

Candidato Votos
Maçã 🍎 40%
Laranja 🍊 35%
Abacaxi 🍍 25%

A Maçã ganhou, mesmo com a maioria das pessoas querendo um fruta cítrica. Isso aconteceu porque os eleitores da Maçã não gostam de frutas cítricas, então seus votos permanecem com a Maçã. Já os eleitores da Laranja ficam dividos. A maioria gosta bastante da Laranja e mantém seu voto, mas uma boa parte gosta ainda mais do Abacaxi e resolve votar nele.

No entanto, todos esses as pessoas que votaram na Laranja ou no Abacaxi (60% do total) gostam mais de Laranja e Abacaxi (frutas cítricas) do que de Maçã. Para a maioria das pessoas, a Maçã era a pior escolha possível. No entanto, ela foi eleita.

Adicionar mais opções deveria melhorar o resultado de uma eleição. Ou, no mínimo, não piorar. Porém não é isso que geralmente acontece. Em 2000, George W. Bush foi eleito presidente dos Estados Unidos em parte porque Ralph Nader do Partido Verde “roubou” parte dos votos que o democrata Al Gore receberia na Flórida se Nader não tivesse competido.

Eleições de dois turnos

Felizmente esse problema já foi percebido. Por isso que várias eleições no Brasil e no exterior incluem um segundo turno entre os dois candidatos mais votados. Isso permite que os eleitores expressem qual é a sua segunda escolha e evitem a eleição da pior opção possível.

Se a nossa eleição das frutas for realizada em dois turnos, teremos Maçã e Laranja no segundo turno. No segundo turno, os eleitores do Abacaxi vão votar na fruta cítrica restante e garantir a eleição da Laranja – igual aconteceria se o Abacaxi não concorresse. No entanto, alguns problemas permanecem.

Eleições em dois turnos necessitam que uma nova votação seja realizada, gastando dinheiro público que poderia ser melhor usado em outro lugar. Por causa disso, as eleições para prefeito das cidades pequenas são em apenas um turno.

Além disso, eleições podem ser mais complexas e envolver mais candidatos. Vamos imaginar um primeiro turno em que também participaram a Maçã Verde, o Limão e a Uva. Enquanto isso nada mudou no nosso eleitorado: 60% das pessoas gostam mais de frutas cítricas de que maçãs.

Os eleitores vão as urnas e o resultado é o seguinte:

Candidato Votos
Maçã 🍎 20%
Maçã Verde 🍏 20%
Laranja 🍊 15%
Uva 🍇 15%
Abacaxi 🍍 15%
Limão 🍋 15%

A Maçã e a Maçã Verde vão para o segundo turno e as frutas cítricas perdem a eleição. Mesmo adicionando um segundo turno, a eleição falhou em refletir os desejos da população por uma fruta cítrica.

Esse tipo de problema atormenta eleições de verdade. Nas eleições presidenciais da França em 2002, vários candidatos da esquerda dividiram tanto seus votos que foram para o segundo turno um candidato de centro-direito e um de extrema direita. No entanto, as pesquisas mostravam que os candidatos da esquerda poderiam vencer as eleição caso sequer chegassem ao segundo turno.

E para piorar, as eleições de dois turnos criam um problema que não existia antes. É possível em uma eleição de dois turnos que um candidato ganhe a eleição perdendo votos, ou perca a eleição ganhando votos.

Considere uma eleição entre a Maçã, a Laranja e o Limão. As pesquisas de opinião dizem que o resultado vai ser o seguinte.

Candidato Votos
Maçã 🍎 45%
Laranja 🍊 30%
Limão 🍋 25%

Desta vez, também foram feitas simulações de segundo turno. Na tabela a seguir você encontra quantos votos um candidato receberia contra cada um dos seus adversários na possibilidade de um segundo turno.

Candidato Maçã Laranja Limão
Maçã 🍎 45% 55%
Laranja 🍊 55% 75%
Limão 🍋 45% 25%

Quando o segundo turno é entre Maçã e Laranja, nada surpreendente acontece. Os eleitores do Limão escolhem a fruta cítrica restante e a Laranja vence. No entanto, o Limão é azedo demais para parte dos eleitores da Laranja, então se o segundo turno for entre a Maçã e o Limão, uma parte dos eleitores da Laranja votarão na Maçã, que vence neste caso.

A Maçã vê essa pesquisa e percebe que, para ser eleita, ela precisa enfrentar o Limão no segundo turno. A Maçã pode tornar isso realidade fazendo um pouco de campanha para o Limão. Ela perde alguns votos, mas apenas o suficiente para que o resultado do primeiro turno seja o seguinte:

Candidato Votos
Maçã 🍎 39%
Limão 🍋 31%
Laranja 🍊 30%

Agora o segundo turno é entre a Maçã e o Limão, e a Maçã vence facilmente. O segundo turno, além de não resolver completamente os problemas anteriores, criou um novo problema. Através desse tipo de tática, alguém pode ser eleito perdendo votos. Dificilmente algo que pode ser chamado de justo.

Definindo justiça

Podemos concordar dos exemplos acima que as nossas eleições não são justas. Entretanto, isso não significa que a democracia está fadada ao fracasso. Essas injustiças acontecem por causa da maneira com que o nosso sistema eleitoral transforma as opiniões do eleitorado em um vencedor.

O nosso sistema eleitoral é o voto por pluralidade. O voto por pluralidade é a maneira mais óbvia de conduzir uma eleição. Cada pessoa pode votar em um único candidato e o candidato mais votado vence. Porém, há outras maneiras de votar capazes de resolver os problemas que esse sistema sofre. Para escolher um substituto precisamos de uma maneira de julgar o quão justo é um sistema eleitoral. Existem vários critérios que podemos usar para isso.

O primeiro critério lida justamente com um dos problemas que observamos nos nosso exemplos.

Critério da independência das alternativas irrelevantes
Se um candidato X competir em uma eleição que seria vencida pelo candidato Y na sua ausência, o vencedor da eleição incluindo Y deve ser X ou Y.

Esse critério pode ser aplicado em situações cotidianas também. Imagine que em um restaurante o garçom oferece maçã e laranja como opções de sobremesa e o cliente escolhe laranja. Quando o garçom está prestes a ir embora ele se lembra: “ah, temos abacaxi também”. Em nenhuma hipótese um cliente racional responderia “nesse caso eu vou querer maçã”.

No entanto, esse critério totalmente razoável é extremamente difícil de ser satisfeito na prática. No entanto, há uma versão mais fraca desse critério que é mais fácil de ser satisfeita.

Critério da independência local das alternativas irrelevantes
Se o primeiro ou o último colocado em uma eleição não concorresse, a ordem dos demais candidatos permaneceria a mesma.

Poucos sistemas eleitorais satisfazem essa versão enfraquecida, mas mais do que a versão completa. Há ainda uma outra maneira de enfraquecer a independência das alternativas irrelevantes.

Critério da independência de clones
Se o clone de um candidato entrar em uma eleição, ambos os candidatos devem estar ficar em posições adjacentes no resultado final.

Esse critério garante que dois candidatos do mesmo partido, com as mesmas propostas e currículos não se prejudiquem (nem se ajudem) caso ambos concorram a mesma eleição. Existe um bom número de sistemas eleitorais que satisfazem esse critério. Porém, o voto por pluralidade não é um deles.

Nenhum desses critérios codificou a exigência implícita de que o eleito deve, de certa forma, refletir a vontade dos eleitores. Os dois próximos critérios lidam com isso.

Critério da não-ditatura
Nenhum eleitor pode decidir sozinho o resultado da eleição.
Critério da maioria
Se mais da metade dos eleitores tem o candidato X como primeira escolha, o candidato X deve ser eleito.

Ao contrário da independência das alternativas irrelevantes, é interessante criar uma versão mais forte do critério da maioria.

Critério Condorcet
Se há um candidato que venceria um segundo turno contra qualquer outro candidato, esse candidato deve ser eleito. Nesses casos o candidato eleito é chamado de vencedor Condorcet.

Por fim, vale a pena criar um critério para impedir o tipo de estratégia que permitiu que a Maçã ganhasse a eleição perdendo votos.

Critério da monotonicidade
Um candidato não pode ser favorecido por perder eleitores, nem prejudicado por ganhar eleitores.

É possível elaborar muitos outros desses critérios e os matemáticos interessados em sistemas eleitorais fizeram justamente isso. Inclusive, existem vários teoremas de impossibilidade mostrando que nem todos os critérios são compatíveis.

A escolha de um sistema eleitoral justo envolve escolher quais critérios de justiça devemos adotar. Escolhi listar aqui alguns que eu considero importantes, mas minha opinião está longe de ser a única possibilidade.

Como os diferentes sistema eleitorais funcionam e quais critérios cada um deles satisfaz é uma história para outra hora. Por ora é suficiente dizer que há soluções que impedem várias das aberrações que vimos nos exemplos com as frutas. Algumas dessas opções já estão sendo implementadas em vários lugares do mundo.

Várias soluções para o problema existem. Tudo que falta é divulgação. Mais pessoas precisam ficar sabendo que nossas eleições tem problemas mais profundos do que políticos corruptos.