Simetria é o tipo de palavra que usamos com frequência no cotidiano, mas nem sempre o seu significado fica claro. No dia-a-dia simetrias trazem uma sensação de harmonia e beleza. Na física as simetrias evocam esse mesmo tipo de sentimento e são uma peça chave no nosso entendimento do Universo.

No entanto esse tipo de sentimento, por mais belo que seja, não constitui uma definição muito prática ou precisa de simetria. Se queremos usar as ideias de simetria na ciência, precisamos de uma definição mais rigorosa.

Vamos começar nossa discussão dando essa definição. Dizemos que um objeto possui uma simetria quando podemos aplicar uma transformação sobre o mesmo de modo que o objeto continue igual. Essa definição pode parecer meio estranha e artificial, mas vamos ver que ela capta todas as características principais que esperamos de uma simetria.

Para melhor visualizar isso vamos nos concentrar em alguns exemplos.

Simetrias de um triângulo equilátero

Vamos a ilustrar a nossa de definição de simetria com o triângulo equilátero. Intuitivamente, baseado no nosso entedimento cotidiano de simetrias, esperamos que o triângulo equilátero seja, de alguma forma simétrico. De fato, podemos encontrar transformações que aplicadas no triângulo o mantém idêntico ao que era antes.

Uma das maneiras mais simples de fazer isso é simplesmente refletir o triângulo. Para isso colocamos ele de frente a um espelho e olhamos o seu reflexo. Vemos que o triângulo equilátero permanece igual, como na figura abaixo.

Note que o formato do triângulo não mudou, mas os seus vértices inferiores se inverteram. Para acompanharmos melhor esse efeito os vértices do triângulo receberam os rótulos (1, 2, 3). Perceba que essa reflexão transformou o triângulo com vértices (1, 2, 3) no triângulo com vértices (2, 1, 3).

Vale a pena reparar que os vértices estarem com rótulos diferentes não faz com que os triângulos sejam diferentes. Os números 1, 2 e 3 foram colocados lá apenas para que melhorar a nossa visualização. Poderíamos ter colocado os números em posições diferentes e nada teria mudado. Colocando de outra maneira, o triângulo é o mesmo, não importa que nome nós damos aos seus vértices.

Prosseguindo, podemos colocar o triângulo girado na frente do espelho e fazer reflexões em torno de outros eixos em outras direções. Em particular o triângulo é simétrico por reflexões em torno dos outros eixos que passam pelos vértices e intersetam a face oposta do triângulo bem no meio.

Se continuarmos adotando a convenção de nos referirmos a um triângulo pelos seus vértices, podemos dizer que a reflexão em torno do eixo que passa por 1 transforma o triângulo (1, 2, 3) no triângulo (1, 3, 2).

De maneira parecida, podemos ver que a reflexão em torno do vértice 2 transforma o triângulo (1, 2, 3) no triângulo (3, 2, 1).

Podemos ainda encontrar mais transformações que mantém um triângulo equilátero inalterado. Se rodarmos o triângulo em 120°, ou seja, um terço de uma volta, ele manterá o mesmo. Note que o ângulo escolhido é importante. Uma rotação de 90°, por exemplo, não manteria o triângulo igual.

Para sermos consistentes, vamos tratar todas as nossas rotações como sendo no sentido anti-horário. Mas é claro que isso é uma escolha nossa. Podemos fazer tudo no sentido horário sem problema.

Como você pode ter perceber o triângulo é o mesmo, com os vértices transformados de (1, 2, 3) para (3, 1, 2).

E é claro podemos ainda rodar o triângulo em mais 120°. Aplicar as duas rotações de 120° é a mesma coisa que aplicar uma única rotação de 240°, ou dois terços de volta.

O efeito da rotação de 240° pode ser entendido como mudar os vértices (1, 2, 3) para os vértices (2, 3, 1).

Podemos rodar o triângulo ainda outra vez em 120°. Desta forma teremos rodado o triângulo em 360°. Como é de se esperar, o triângulo não muda. Além disso os vértices também não mudam, sendo (1, 2, 3) antes e depois da rotação.

A primeira vista podemos encarar essa informação como um sinal de que já esgotamos todas as possíveis simetrias do triângulo. Mas perceba que não fazer nada obviamente não altera o triângulo. Logo não fazer nada é uma tranformação de simetria. Chamamos essa transformação de identidade, já que ela não altera o triângulo, da mesma forma que multiplicar um número por 1 (a identidade dos números reais) não altera o número.

Se considerarmos não fazer nada como uma simetria obtemos que a aplicação sucessiva de rotações (de 120° ou 240°) sobre um triângulo continua sendo uma simetria. Se não incluíssemos a identidade, três rotações seguidas não seriam uma simetria.

Você ainda pode parar e pensar um pouco no assunto e perceber que mesmo duas reflexões seguidas ainda são uma simetria. Ainda mais, podemos expressar as reflexões em torno dos eixos que passam por 1 e 2 como uma rotação, seguida de uma reflexão em torno do eixo 3 e terminando com uma rotação contrária à original. Uma maneira de perceber isso é lembrar que para refletir em torno do eixo de 1 e 2 temos que girar o triângulo antes de colocá-lo na frente espelho e depois consertar essa rotação girando a imagem no espelho no sentido contrário.

Também temos que duas reflexões seguidas em torno do mesmo eixo é equivalente à não fazer nada. Encontramos a identidade de novo.

Ou seja, transformações de simetrias aplicadas sucessivamente formam uma outra transformação de simetria, pelo menos no caso do triângulo. Essa propriedade pode ser expandida para todos os tipos de simetria. Isso fica claro ao percebermos que cada uma das transformações de simetria não muda um objeto, portanto transformar o objeto mais de uma vez também não irá alterá-lo.

Simetrias das leis físicas

Agora que já entendemos um pouco melhor o que queremos dizer por simetria, podemos explorar como as leis físicas se relacionam com as simetrias.

Primeiramente, vamos aplicar a nossa definição de simetria para as leis físicas. Baseados no que discutimos antes, as leis da física são simétricas quando podemos realizar uma transformação sobre elas sem alterar sua forma. Em termos práticos, isso significa que podemos alterar a situação em que um fenômeno acontece, e ele irá ocorrer da mesma maneira.

Uma das maneiras que podemos alterar um fenômeno é fazendo uma translação no espaço. Ou seja, ao invés de realizarmos o experimento ou seja lá o que estivermos fazendo em uma certa posição, podemos dar um passo para a direita, ou para a esquerda, e tudo deve funcionar corretamente.

Por exemplo, os sinais elétricos que fazem o seu celular funcionar não serão alterados se você estiver com ele aqui ou a dois metros para o lado.

Você pode com muita razão argumentar que o sinal do wi-fi não é tão bom lá quanto aqui. Ou até mesmo que o celular não vai funcionar tão bem se você transladá-lo para dentro de um copo de água. Mas isso acontece porque você não transladou o sistema como um todo. Se você mover todos os roteadores, copos e outros objetos envolvidos o mesmo tanto que você moveu seu celular, tudo vai continuar igual.

Um outro tipo de simetria que as leis física apresentam é a simetria por translação temporal. Por exemplo, se você der partida no seu carro o funcinamento do motor e de todas as engrenagens será igual independente se você o fizer às 10h da manhã ou dez minutos mais tarde.

Um outro tipo de simetria é a simetria por troca de referências inerciais. Isso significa que se realizarmos um experimento no laboratório e depois o repetirmos dentro de um carro andando em linha reta sem aceleração, tudo será igual. Por exemplo, se no carro deixarmos cair uma bolinha ela irá cair em linha reta até o piso do carro, igual aconteceria na calçada.

Podemos até encontrar um exemplo em que isso não vale. Basta lembrar o que sentimos quando estamos em um carro (ou melhor ainda, de pé em um ônibus) quando o motorista faz uma curva brusca.

Um outro exemplo de transformação de simetria que podemos encontrar nas leis físicas é a simetria por reversão temporal. Isso significa que se filmarmos um experimento e depois assistirmos o filme no sentido contrário, os eventos no filme ao contrário vão ser descritos pelas mesmas leis da física como, por exemplo, as leis de Newton.

Essa simetria desafia a nossa percepção porque vivemos em um mundo macroscópico, onde as propriedades coletivas das partículas fazem certos processos irreversíveis. Por exemplo, se filmarmos um copo caindo no chão e se estilhaçando somos capazes de avaliar que o filme no sentido contrário não corresponde à um processo físico real. No entanto, se houvesse à nossa disposição uma filmadora capaz de registar o movimento de cada uma das partículas do vidro individualmente, o filme no sentido contrário iria mostrar as partículas em trajetórias perfeitamente condizentes com as leis físicas.

Portanto, a inversão temporal é uma simetria da física, mas só quando analisamos as interações microscópicas, e não os comportamentos coletivos.

As simetrias das leis físicas são muito importantes principalmente devido à um teorema de Emmy Noether que relaciona simetrias nas leis da física com as leis de conservação.

Através deste teorema somos capazes de descobrir que a conservação da energia que aprendemos no colégio é uma consequência do fato que as leis da física são simétricas por translação temporal. Similarmente o momento linear é conservado devido à simetria por translação espacial e o momento angular é conservado devido à simetria por rotação.

Essa simetrias tem interpretações bem práticas nos exemplos que vimos acima. Contudo, em termos das equações que descrevem os fenômenos naturais, as simetrias se manifestam como mudanças nas variáveis das equações tais que essas sejam mantidas iguais. Totalmente condizente com a nossa definição de simetria. Por exemplo, a equação

é simétrica ao trocarmos por .

Em particular as equações que descrevem as partículas fundamentais e suas interações são invariantes por algumas transformações chamadas de transformações de gauge. As simetrias de gauge estão no centro das teorias que descrevem as interações entre as partículas fundamentais, como o Modelo Padrão.

Grupos

Quando consideramos os triângulos equiláteros encontramos algumas propriedades interessantes das simetrias:

  • quando combinamos transformações de simetria obtemos outra transformação de simetria;
  • a transformação que não faz nada é uma simetria;
  • quando combinamos as transformações de simetria eventualmente obtemos a transformação que não faz nada.

Além disso, usamos os vértices do triângulo para acompanhar o efeito das transformações de simetria. Podemos usar os rótulos dos vértices para tratar as transformações de simetria como operações de permutação dos números 1, 2 e 3.

Acontece que a álgebra das permutações é conhecida dos matemáticos há muito tempo e pode ser identificada com um tipo de objeto chamado grupo.

Um grupo é um conjunto que vamos denotar por munido de algumas propriedades. Primeiramente, para ser um grupo deve ser possível combinar dois de seus elementos, e , digamos, de modo a formar um novo elemento . Ainda por cima, essa combinação tem que obedecer algumas regras:

  • Se e fazem parte do grupo , então a sua combinação também deve pertencer ao mesmo grupo .

    Essa regra garante que nunca saímos do grupo e é chamada de fechamento. As simetrias obedecem essa propriedade, já que duas transformações sucessivas ainda são uma simetria.

  • Se , e pertencem ao grupo , então é válido que: .

    Essa regra é chamada associatividade. As simetrias também obedecem essa propriedade. É meio difícil de imaginar o porque à primeira vista, mas essa propriedade segue do fato que aplicamos as transformações em ordem. Se você pensar um pouco no assunto pode perceber que isso é verdade.

  • Existe um membro de denotado tal que para todos os elementos do grupo.

    Esse elemento especial é chamado de identidade. Encontramos uma transformação de simetria que tem exatamente essa propriedade, que é não fazer nada.

  • Para cada elemento do grupo , existe um elemento denotado tal que .

    Esse elemento é chamado de elemento inverso. Essa regra vale para as simetrias. Por exemplo, no caso dos triângulos encontramos que uma rotação de 240° seguida de uma de 120° é equivalente à não fazer nada, ou seja, é igual à identidade.

Portanto, a teoria de grupos é a ferramenta matemática adequada para tratarmos simetrias rigorosamente. As ferramentas da teoria de grupos podem ser usadas para obter muitas informações sobre os sistemas físicos simétricos.

E as simetrias que encontramos até agora, como elas se encaixam no contexto dos grupos?

No exemplo do triângulo, as reflexões e rotações formam um grupo chamado de . As rotações sozinhas formam o grupo . Os outros polígonos regulares de vértices também tem simetrias similares, que formam os grupos e .

Na relatividade restrita as mudanças de referencial inercial, rotações e reflexões (espaciais e temporais) formam o grupo de Lorentz. Quando incluímos ao grupo de Lorentz as translações espaciais e temporais obtemos o grupo de Poincaré.

Em física de partículas as simetrias de gauge também podem ser entendidas em termos de grupos. Por exemplo, a cromodinâmica quântica é invariante pelo grupo e o eletromagnetismo pelo grupo .

Referências adicionais

Como aqui eu abordei apenas alguns exemplos e em nível de divulgação, deixo algumas referências interessantes para quem quiser saber mais sobre simetrias e grupos.

  • “Monster Group”, por Numberphile. Esse vídeo do YouTube introduz grupos e simetrias de modo semelhante ao adotado aqui e ainda discute um grupo muito grande e interessante chamado grupo monstro.
  • “Symmetry in Physical Laws”, por Richard Feynman. Nesse capítulo das Lições de Física são abordados vários exemplos de simetrias das leis físicas.
  • “What is a gauge?”, por Terry Tao. Esse texto explica as transformações de gauge, muito importantes para entender as interações fundamentais.
  • “Euler’s formula with introductory group theory”, por 3Blue1Brown. Esse vídeo explica os fundamentos da teoria de grupos e de bônus deduz a famosa fórmula de Euler .